Niech będzie dany ciąg: 1 1*2 ; 1 2*3 ;...; 1 n(n+1) .

Jak znaleźć sumę szeregu utworzonego ze 100 wyrazów takiego ciągu?

Rozwiązanie: Utwórzmy kolejne sumy wyrazów szeregu:

S = 1 1*2 + 1 2*3 + 1 3*4 +...+ 1 100*101 .

S 1 = 1 1*2 = 1 2 ; S 2 = S 1 + 1 2*3 = 2 3 ; S 3 = S 1 + 1 3*4 = 3 4  ...a więc   S 1 = 1 2 ; S 2 = 2 3 ; S 3 = 3 4 ...czyli że każde kolejne S równa się ułamkowi, którego licznikiem jest wskaźnik przy S, a mianownikiem liczba o 1 większa S 4 = 4 5 ; S 5 = 5 6   itd.

Wniosku, że  S 100 = 100 101 , nie mamy prawa jeszcze postawić. Należy przed tem dowieść, że jeżeli powyższy wzór jest prawdziwy dla   S k , czyli jeżeli   S k = k k+1  , to   S (k+1) = k+1 k+2 , i dopiero po udowodnieniu tego możemy napisać  S 100 = 1 1*2 + 1 2*3 + 1 3*4 +... + 1 99*100 + 1 100*101 = 100 101